Dirección Financiera IEPD · Universidad Pablo de Olavide
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Universidad Pablo de Olavide · Enseñanzas Prácticas y de Desarrollo

Dirección Financiera I · EPD

Material de las EPD de la asignatura. Cada tema tiene la teoría explicada con ejemplos resueltos, ejercicios que se corrigen solos y un laboratorio para experimentar y comprobar resultados.

Cómo está organizado cada tema

  1. 1
    Teoría y ejemplos resueltos. Lee la explicación y repasa los ejemplos, resueltos paso a paso.
  2. 2
    Ejercicios. Resuélvelos tú. Al contestar, la web te dice si está bien y te muestra la solución explicada.
  3. 3
    Laboratorio. Simuladores para experimentar cambiando datos y comprobar cualquier resultado.

Tema 2 · Financiación a corto plazo

EPDTema 2 · Financiación a corto plazo

Crédito comercial

El proveedor deja pagar más tarde y ofrece un descuento si se paga pronto. ¿Cuánto le cuesta al cliente no acogerse a ese descuento? ¿Por qué lo ofrece el proveedor?

Entrar →
EPDTema 2 · Financiación a corto plazo

Descuento comercial

El proveedor que ha vendido a plazo lleva las letras de sus clientes al banco, que le adelanta hoy el dinero. ¿Cuánto recibe y cuánto le cuesta?

Entrar →
🔑 Para comparar, todo a coste efectivo anual.
Voluntario

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Lo que respondes en los ejercicios y en el test queda anotado en tu navegador. Al terminar la clase, si quieres, descárgalo en Excel con tu nombre y envíaselo a la profesora por correo (sdiamar@upo.es). No cuenta para la nota: le sirve para ver la participación.

👩‍🏫 Contacto con la profesora

Sara Díaz
✉ Correo: sdiamar@upo.es
🕘 Tutorías: viernes de 10:00 a 11:30

Los siguientes temas se irán añadiendo conforme avancen las clases. Bibliografía de las EPD: García Merino et al. (2010), Instrumentos de financiación empresarial; Piñeiro, C., Oikonomicon.

Tema 2 · Financiación a corto plazo · EPD

Crédito comercial

🚲 La idea en un minuto

Tu vecina te vende su bici por 100 € y te dice: «Si me pagas esta semana, te la dejo en 98 €. Si no, me pagas los 100 € el mes que viene».

  • Si pagas esta semana, pagas 98 €.
  • Si esperas al mes que viene, pagas 100 €: el precio normal, no pagas de más.
  • Pero al esperar dejas de ahorrarte 2 €. Esos 2 € son lo que te «cuesta» tener tu dinero un mes más.

Ahora la pregunta: ¿te compensa esperar? Depende de si conseguir ese dinero de otra forma (pedírselo a tus padres, a un banco…) te costaría más o menos de 2 €. Eso es el crédito comercial: las empresas hacen exactamente esto con sus proveedores, solo que con facturas de miles de euros. En este tema aprenderás a calcular ese «coste» como un porcentaje anual, para poder compararlo con lo que cobra un banco.

🔑 Frases clave de este tema (te las repetiremos muchas veces)
  1. Si no me acojo al descuento, no pago más: pago el precio de la factura, pero pierdo el descuento.
  2. El coste es el descuento que dejo de ahorrar: i lo mide en el periodo y k, en un año.
  3. O pago con descuento el día t, o pago el total el día T. Pagar en medio es lo peor.
  4. Primero el coste del periodo, después el coste efectivo anual.
  5. Si conseguir el dinero me cuesta menos que k, pago con descuento; si me cuesta más, pago el día T.
  6. Para comparar, todo a coste efectivo anual.

1. ¿Qué es el crédito comercial?

Entre empresas casi nunca se paga al contado. El proveedor entrega la mercancía y concede un plazo para pagar la factura (30, 60, 90 días…). Mientras tanto, el proveedor está financiando al cliente: eso es el crédito comercial, también llamado crédito de proveedores.

  • Es financiación ajena a corto plazo.
  • Es espontánea: surge de la propia compra, sin negociar con un banco, sin garantías ni papeleo.
  • No tiene intereses: si el cliente paga al final del plazo, paga el precio de la factura, ni un euro más. Pero si el proveedor ofrece un descuento por pronto pago, pagar tarde significa renunciar a ese descuento. Esos euros que se dejan de ahorrar son el «coste» de usar el plazo.
🔑 Si no me acojo al descuento, no pago más: pago el precio de la factura, pero pierdo el descuento.

2. Dos puntos de vista: cliente y proveedor

PROVEEDORvende y concede el aplazamiento
mercancía + factura «2/10 neto 60»
pago: día 10 con descuento, o día 60 sin descuento
CLIENTEcompra y recibe financiación
Para el CLIENTE (comprador)Para el PROVEEDOR (vendedor)
¿Qué es?Una fuente de financiación: usa la mercancía antes de pagarla.Una inversión en clientes: ha entregado la mercancía y todavía no ha cobrado.
El descuentoSi no se acoge al descuento, paga el precio completo (no paga de más), pero deja de ahorrarse el descuento: ese ahorro perdido es su coste de financiarse con el proveedor.Lo ofrece para cobrar antes: necesita menos financiación propia y reduce el riesgo de impago.
Su pregunta¿Me acojo al descuento o uso todo el plazo?¿Qué descuento ofrezco? ¿Cómo financio lo que aún no he cobrado? (→ descuento comercial)

En este tema calculamos el coste desde el punto de vista del cliente. El proveedor que necesita liquidez puede llevar al banco los efectos de sus clientes: es el descuento comercial, que vemos en el tema siguiente.

3. Las condiciones «d/t neto T»

d / t neto T
  • d: descuento por pronto pago. En las fórmulas va en tanto por uno (2 % = 0,02).
  • t: plazo de pronto pago, los días (desde que se recibe la factura) en los que se puede pagar con descuento.
  • T: plazo de pago, los días máximos para pagar la factura entera, sin descuento.
  • F: importe de la factura (€).

También se escribe «2/10, n 60» o «2/10 neto 60». Los días se cuentan desde la recepción de la factura.

Envases del Sur, S.L.
Dos Hermanas (Sevilla)
FACTURA
2026/214
500 cajas de cartón1.000,00 €
TOTAL1.000,00 €
Condiciones de pago: 2/10 neto 60

Ejemplo: «2/10 neto 60». El cliente tiene 60 días para pagar, pero si paga en los 10 primeros obtiene un 2 % de descuento. Sobre una factura de 1.000 €: pagar 980 € hasta el día 10, o 1.000 € hasta el día 60.

4. ¿Qué día pagar? (cliente)

Mientras no paga, el cliente conserva el dinero. Por eso, elija lo que elija, le conviene pagar lo más tarde posible dentro de cada opción. Solo hay dos fechas razonables:

Opción A · se acoge al descuento
Pagar el día t
F·(1 − d) = 980 € el día 10
Opción B · no se acoge
Pagar el día T
F = 1.000 € el día 60
Qué es cada símbolo
\(F\)
importe de la factura (€)
\(d\)
descuento por pronto pago, en tanto por uno (2 % = 0,02)
\(t\)
plazo de pronto pago: días, desde la recepción de la factura, en los que se puede pagar con descuento
\(T\)
plazo de pago: días máximos para pagar la factura entera, sin descuento
\(F(1-d)\)
lo que paga el cliente si se acoge al descuento

Pagar entre t y T es lo peor de los dos mundos: se pierde el descuento y no se usa todo el plazo.

🔑 O pago con descuento el día t, o pago el total el día T. Pagar en medio es lo peor.

5. El coste para el cliente de no acogerse al descuento

Si el cliente elige la opción B, entre el día t y el día T sigue teniendo el dinero que podría haber pagado con descuento. Es como si el proveedor le prestara 980 € el día 10 y él le devolviera 1.000 € el día 60:

Día t = 10«le prestan»
980 €
T − t = 50 días
Día T = 60devuelve
1.000 €

Paso 1 · Coste del periodo. Paga 20 € de «intereses» por disponer de 980 € durante 50 días:

\[ i = \frac{d}{1-d} = \frac{0{,}02}{0{,}98} = 0{,}0204 \;(2{,}04\,\%) \]
Qué es cada símbolo
\(i\)
coste del periodo de \(T-t\) días, en tanto por uno (×100 para %)
\(d\)
descuento por pronto pago, en tanto por uno (2 % = 0,02)
\(1-d\)
parte de la factura que se paga con descuento (0,98): sobre ella se calculan los intereses

No es el 2 %, porque los intereses (20 €) se pagan sobre lo que realmente se financia (980 €), no sobre 1.000 €. Y el importe de la factura no influye: el coste solo depende de d, t y T.

Paso 2 · Coste efectivo anual. Ese 2,04 % es para T − t = 50 días. Para compararlo con un préstamo se pasa a tanto anual (capitalización compuesta, 365 días):

\[ k = (1+i)^{\frac{365}{T-t}} - 1 = \left(1+\frac{d}{1-d}\right)^{\frac{365}{T-t}} - 1 \]
Qué es cada símbolo
\(k\)
coste efectivo anual de no acogerse al descuento, en tanto por uno (×100 para %)
\(i\)
coste del periodo de \(T-t\) días, en tanto por uno (×100 para %)
\(T\)
plazo de pago: días máximos para pagar la factura entera, sin descuento
\(t\)
plazo de pronto pago: días, desde la recepción de la factura, en los que se puede pagar con descuento
\(T-t\)
días de financiación con coste: los que el cliente usa si no se acoge al descuento
365
días del año natural: se usan para pasar el coste del periodo a coste efectivo anual
\(\frac{365}{T-t}\)
cuántos periodos de \(T-t\) días caben en un año (365/50 = 7,3 en el ejemplo)
💬 En palabras sencillas

Ojo: el cliente nunca paga más que el precio de la factura. Lo que hace al esperar es renunciar a un ahorro. Si ese ahorro (20 € por esperar 50 días) lo expresamos como un tipo de interés anual, sale un 15,89 %. Es como si alguien te prestara 980 € y te pidiera devolver 1.000 € a los 50 días: un préstamo bastante caro.

En el ejemplo: \(k = (1{,}0204)^{365/50} - 1 = 0{,}1589\) → 15,89 % anual. Con plazos más cortos el coste se dispara: «2/10 neto 30» cuesta un 44,59 %.

Si el cliente paga otro día (entre t y T), los días de financiación son (día de pago − t) y el coste efectivo anual es mayor. Si paga dentro del pronto pago, el coste es 0.

🔑 El coste es el descuento que dejo de ahorrar: i lo mide en el periodo y k, en un año.
🔑 Primero el coste del periodo, después el coste efectivo anual.

6. Regla de decisión

Cliente con tesorería: acogerse al descuento. Pagar pronto equivale a obtener una rentabilidad igual a k.

Cliente sin tesorería: pedir un préstamo o usar una póliza para pagar con descuento solo si cuesta menos que k. Si cuesta más, no acogerse al descuento y pagar el día T.

💬 En palabras sencillas

Solo hay dos caminos: pagar pronto con descuento o pagar el total al final del plazo. Para elegir, compara:

  • Si tienes el dinero en la cuenta sin usar → paga pronto y ahórrate el descuento.
  • Si no lo tienes y un banco te lo presta más barato que el coste k → pide el préstamo y paga pronto.
  • Si el banco te lo presta más caro que k → espera y paga el total el último día.

Proveedor: cuanto mayor sea el descuento, más caro le resulta al cliente no acogerse y más clientes pagarán pronto; pero el proveedor deja de ingresar d·F. Le compensa si cobrar antes le ahorra financiación o riesgo.

Marco legal: la Ley 3/2004 de lucha contra la morosidad, reformada por la Ley 15/2010, fija un plazo máximo de pago entre empresas de 60 días.

🔑 Si conseguir el dinero me cuesta menos que k, pago con descuento; si me cuesta más, pago el día T.
🔑 Para comparar, todo a coste efectivo anual.

7. Resumen y errores típicos

  1. Coste del periodo: \(i = \dfrac{d}{1-d}\)
  2. Días de financiación: \(T - t\)
  3. Coste efectivo anual: \(k = (1+i)^{365/(T-t)} - 1\)
  4. Decisión: comparar k con el coste de otra financiación.
Qué es cada símbolo
\(d\)
descuento por pronto pago, en tanto por uno (2 % = 0,02)
\(t\)
plazo de pronto pago: días, desde la recepción de la factura, en los que se puede pagar con descuento
\(T\)
plazo de pago: días máximos para pagar la factura entera, sin descuento
\(T-t\)
días de financiación con coste: los que el cliente usa si no se acoge al descuento
\(i\)
coste del periodo de \(T-t\) días, en tanto por uno (×100 para %)
\(k\)
coste efectivo anual de no acogerse al descuento, en tanto por uno (×100 para %)
365
días del año natural: se usan para pasar el coste del periodo a coste efectivo anual
Errores típicos
  • Usar d en lugar de d/(1−d).
  • Usar T en lugar de T − t.
  • Anualizar multiplicando (interés simple) en lugar de elevando.
🔑 Frases clave de este tema
  1. Si no me acojo al descuento, no pago más: pago el precio de la factura, pero pierdo el descuento.
  2. El coste es el descuento que dejo de ahorrar: i lo mide en el periodo y k, en un año.
  3. O pago con descuento el día t, o pago el total el día T. Pagar en medio es lo peor.
  4. Primero el coste del periodo, después el coste efectivo anual.
  5. Si conseguir el dinero me cuesta menos que k, pago con descuento; si me cuesta más, pago el día T.
  6. Para comparar, todo a coste efectivo anual.
Ejemplos resueltos

Ejemplos resueltos paso a paso

Basados en los casos del libro Oikonomicon, apartado Crédito comercial.

Ejemplo 1

Condiciones «2/4 neto 20»

Compramos una mercancía por 600 € en condiciones «2/4 neto 20». a) Si tenemos tesorería, ¿cuándo pagamos? b) ¿Cuál es el coste efectivo de no acogernos al descuento? c) Si no tenemos liquidez, ¿qué coste máximo puede tener una financiación alternativa para que convenga pagar al contado?

Datos del enunciado\(F = 600\) € (factura) · \(d = 0{,}02\) (descuento) · \(t = 4\) días (pronto pago) · \(T = 20\) días (plazo de pago) · \(T - t = 16\) días de financiación
  1. a) Con tesorería, nos acogemos al descuento pagando el último día posible: el día 4, \(600\cdot(1-0{,}02) = 588\) €.
  2. b) Coste del periodo: \(i = \dfrac{0{,}02}{0{,}98} = 0{,}02041\), para \(T - t = 20 - 4 = 16\) días.
  3. Coste efectivo anual: \(k = (1{,}02041)^{365/16} - 1 = 0{,}5855\) → 58,55 %.
  4. c) Conviene endeudarse para pagar el día 4 solo si la financiación cuesta menos del 58,55 % anual.
🔑 Primero el coste del periodo, después el coste efectivo anual.
🔑 Si conseguir el dinero me cuesta menos que k, pago con descuento; si me cuesta más, pago el día T.
Ejemplo 2

Calcular el descuento a partir del coste

Un crédito comercial con 5 días de pronto pago y 40 días de plazo tiene un coste efectivo anual del 37,39 %. ¿Qué descuento ofrece el proveedor?

Datos del enunciado\(t = 5\) días (pronto pago) · \(T = 40\) días (plazo de pago) · \(k = 0{,}3739\) (coste efectivo anual) · Incógnitas: \(i\) (coste del periodo) y \(d\) (descuento)
  1. Días: \(T - t = 40 - 5 = 35\).
  2. Deshacemos la anualización: \(1 + i = (1{,}3739)^{35/365} = 1{,}03093\) → \(i = 0{,}03093\).
  3. Despejamos d de \(i = \dfrac{d}{1-d}\): \(d = \dfrac{i}{1+i} = 0{,}03\) → d = 3 %.
🔑 Primero el coste del periodo, después el coste efectivo anual.
Ejemplo 3

Cambio de condiciones: «4/7 neto 60»

Pagábamos a un proveedor a 45 días. Desde hoy factura en condiciones «4/7 neto 60». ¿Cuál es el coste de pagar a 60 días? ¿Y a 5 días? ¿Y de seguir pagando a 45 días?

Datos del enunciado\(d = 0{,}04\) (descuento) · \(t = 7\) días (pronto pago) · \(T = 60\) días (plazo de pago) · pagando el día 45, los días de financiación son \(45 - 7 = 38\)
  1. Coste del periodo: \(i = 0{,}04/0{,}96 = 0{,}04167\).
  2. A 60 días: \(60 - 7 = 53\) días → \(k = (1{,}04167)^{365/53} - 1 = \mathbf{32{,}46\,\%}\).
  3. A 5 días: dentro del pronto pago, el coste es 0.
  4. A 45 días: \(45 - 7 = 38\) días → \(k = (1{,}04167)^{365/38} - 1 = \mathbf{48{,}01\,\%}\).

Si no nos acogemos al descuento, conviene pagar el día 60: pagar el 45 cuesta más porque usamos menos días con el mismo i.

🔑 O pago con descuento el día t, o pago el total el día T. Pagar en medio es lo peor.
Ejemplo 4

«Paga en 10 meses sin intereses. TAE 6,86 %»

Una tienda anuncia: «Paga tus compras en 10 meses sin intereses, TAE 6,86 %». ¿Cómo puede haber TAE si no hay intereses?

Datos del enunciadoTAE: coste efectivo anual que incluye todos los gastos (intereses y comisiones) · comisión de apertura: porcentaje del precio que se paga al principio
  1. La TAE recoge todos los costes de la financiación, por ejemplo una comisión de apertura que se paga al principio.
  2. Con una comisión de alrededor del 3 %, el cliente recibe el 97 % del precio y devuelve el 100 % en 10 cuotas: eso da una TAE del 6,86 % (compruébalo en el Laboratorio).

«Sin intereses» no significa «sin coste»: el proveedor puede cobrarlo con comisiones o incluirlo en el precio.

🔑 Para comparar, todo a coste efectivo anual.

¿Has entendido los ejemplos? Ahora practica tú.

Ir a los ejercicios →
Cómo funciona: abre un ejercicio y resuelve cada apartado. Escribe tu resultado y pulsa Comprobar: verás si es correcto y la solución explicada. Si fallas, puedes pedir una pista, volver a intentarlo o ver la solución.

📗 ¿Prefieres hacer los ejercicios en Excel?

Descarga la hoja de cálculo del tema: tiene los mismos ejercicios que esta página. Debajo tienes una vista previa de una de sus hojas.

⬇ Descargar Excel
  • Leyenda: qué es cada símbolo, las fórmulas y cómo usar el libro.
  • Ejercicios: rellena las celdas amarillas con tu fórmula o tu resultado; la columna «Comprobación» te dice ✔ Correcto o ✘ Revisa.
  • Tabla de costes (con gráfico) y Calculadora con las fórmulas a la vista.
  • Soluciones: las fórmulas resueltas. Mírala solo después de intentarlo.

Vista previa: hoja «Tabla de costes»

Coste efectivo anual de no acogerse al descuento, para distintos descuentos y días de financiación. Los colores van de verde (barato) a rojo (caro).

Fórmula de cada celda: \(k = \left(1+\frac{d}{1-d}\right)^{365/(T-t)} - 1\).

Qué es cada símbolo
\(d\)
descuento por pronto pago, en tanto por uno (filas de la tabla)
\(T-t\)
días de financiación con coste: plazo de pago T menos plazo de pronto pago t (columnas)
\(i\)
coste del periodo: \(i = d/(1-d)\)
\(k\)
coste efectivo anual (valor de cada celda)
365
días del año natural
📋 Lo que respondas aquí queda anotado en Mi registro (solo en tu navegador). Al terminar la clase puedes descargarlo en Excel y enviárselo a la profesora (sdiamar@upo.es). Es voluntario.

Más ejercicios con datos nuevos

Cuando termines los ejercicios de arriba, aquí puedes practicar más. La web inventa ejercicios del mismo tipo con datos distintos (condiciones, importes, plazos…) y calcula la solución con las mismas fórmulas del tema. No los saca de ningún libro: cada vez que pulsas «Generar» salen datos nuevos.

Si en clase os dan un código, escribidlo y todos tendréis exactamente los mismos ejercicios. Así se pueden corregir juntos.

Test de conceptos

Simuladores para experimentar cambiando datos y comprobar resultados.

📗 ¿Buscas la hoja de cálculo (Excel) del tema? Está en la pestaña 2 · Ejercicios, con su botón de descarga.

Laboratorio: mueve el día de pago

Cambia las condiciones y arrastra el deslizador del día de pago
€
%
días
días
Pago el día…20
Prueba a pagar entre t y T: verás que el coste se dispara.
Qué es cada símbolo
\(F\)
importe de la factura (€)
\(d\)
descuento por pronto pago, en tanto por uno (2 % = 0,02)
\(t\)
plazo de pronto pago: días, desde la recepción de la factura, en los que se puede pagar con descuento
\(T\)
plazo de pago: días máximos para pagar la factura entera, sin descuento
día de pago
el día en que paga el cliente (deslizador)
\(i\)
coste del periodo de \(T-t\) días, en tanto por uno (×100 para %)
\(k\)
coste efectivo anual de no acogerse al descuento, en tanto por uno (×100 para %)
Coste efectivo anual según el día en que pagas
Pagando dentro del pronto pago el coste es 0. Después, cuanto antes pagues sin descuento, más caro te sale. Pasa el ratón por la curva.

¿Me conviene acogerme al descuento?

Asistente de decisión

Ejemplos: 2/10 neto 30, 3/15 n 45, 1,5/7 neto 60
€
%
¿Tenemos tesorería para pagar ya?

Calculadora inversa

¿Qué descuento hace falta para que el crédito cueste un determinado % anual? Es el ejemplo 2 de la teoría.

%
días
días

Tabla de referencia

El coste efectivo anual de las condiciones comerciales más habituales. Haz clic en una fila para cargarla en el asistente.

CondicionesDías financiadosiCoste efectivo anual

Para pensar: «Paga en 10 meses sin intereses (TAE 6,86 %)»

Este anuncio aparece en el libro (caso 2). ¿Cómo puede haber un TAE positivo si no hay intereses? Porque la TAE incluye todos los costes, por ejemplo una comisión de apertura que se paga al principio.

Supón que compras por \(P\) y pagas 10 cuotas mensuales de \(P/10\), pero hoy te cobran una comisión \(c\). En realidad recibes \(P(1-c)\) y devuelves 10 cuotas de \(P/10\). Mueve la comisión hasta que la TAE sea 6,86 %.

Comisión de apertura c1,00 %
Tema 2 · Financiación a corto plazo · EPD

Descuento comercial (descuento de efectos)

🎁 La idea en un minuto

Imagina que has hecho un trabajo para un vecino y te ha firmado un papel: «Te pagaré 100 € dentro de tres meses». Pero tú necesitas el dinero hoy.

Vas al banco con ese papel. El banco te dice: «Te doy hoy 97 € y me quedo el papel. Dentro de tres meses le cobraré yo los 100 € a tu vecino».

  • Tú cobras hoy, pero 3 € menos.
  • Esos 3 € (intereses, comisión y gastos) son lo que te cuesta adelantar el cobro.
  • Tu vecino no nota nada: paga sus 100 € el día previsto.
  • Si tu vecino no pagara, el banco te pediría a ti los 100 €.

Eso es el descuento comercial: el papel es una letra de cambio, tú eres el proveedor que ha vendido a plazo, y el vecino es el cliente. En este tema aprenderás a calcular cuánto te da el banco y cuánto te cuesta en porcentaje anual.

🔑 Frases clave de este tema (te las repetiremos muchas veces)
  1. El banco me da hoy menos de lo que cobrará al vencimiento.
  2. El efectivo es lo que me ingresa el banco hoy: el nominal menos todo lo que me cobra.
  3. Al cliente no le cambia nada: paga el nominal al vencimiento.
  4. Mira siempre el coste efectivo, no el tipo que te anuncian.
  5. Las letras pequeñas y cortas salen caras, porque la comisión y el timbre son fijos.
  6. Para comparar, todo a coste efectivo anual.

1. ¿Qué es el descuento comercial?

Cuando una empresa vende a plazo, no cobra hasta el vencimiento. Si necesita el dinero antes, puede llevar al banco el documento de cobro (normalmente una letra de cambio). El banco le adelanta hoy el importe, descontando intereses y comisiones, y al vencimiento cobra él la letra al cliente.

Es el sistema de financiación bancaria a corto plazo más habitual de las empresas españolas. Se le llama descuento comercial o descuento de efectos; descontar una sola letra es el mismo descuento comercial aplicado a un efecto.

«Salvo buen fin». Si el cliente no paga al vencimiento, el banco carga a la empresa el importe de la letra más los gastos. El riesgo de impago sigue siendo de la empresa que descuenta.

🔑 El banco me da hoy menos de lo que cobrará al vencimiento.

2. Proveedor, cliente y banco

PROVEEDORlibrador · vende a plazo
BANCOanticipa el dinero
CLIENTElibrado · paga al vencimiento
  1. 1
    Venta a plazo. El proveedor vende al cliente y le gira una letra por el importe (nominal N).
  2. 2
    Hoy. El proveedor lleva la letra al banco y recibe el efectivo E = N − gastos de descuento.
  3. 3
    Al vencimiento (t días). El cliente paga el nominal N al banco.
Basado en la figura 4.1 de Instrumentos de financiación empresarial.
PROVEEDOR (quien descuenta)CLIENTE (quien paga la letra)
¿Qué hace?Cobra hoy E en lugar de esperar a cobrar N.Paga N al vencimiento, igual que si no hubiera descuento.
¿Quién paga el coste?Él: la diferencia N − E (intereses, comisión, timbre).Nada: para él no cambia nada.
RiesgoSi el cliente no paga, debe devolver el anticipo («salvo buen fin»).Si no paga, el banco y el proveedor pueden reclamarle.
🔑 Al cliente no le cambia nada: paga el nominal al vencimiento.

3. La letra de cambio y otros documentos

LETRA DE CAMBIO5.000,00 €
Nominal (N)5.000,00 €
Vencimientoa 90 días
Libradorel proveedor
Libradoel cliente
Timbre16,83 €
  • Letra de cambio: documento con el que el proveedor (librador) ordena al cliente (librado) pagar una cantidad en una fecha. El cliente la acepta firmándola.
  • Pagaré: el propio cliente se compromete a pagar en una fecha.
  • Recibo: también se puede descontar si el banco lo admite.
  • La letra debe extenderse en impreso oficial timbrado: el timbre es un impuesto (Actos Jurídicos Documentados) que depende del importe.

4. Descuento puntual y línea de descuento

  • Descuento simple o puntual: se descuenta una letra o un grupo de letras concreto.
  • Línea de descuento: el banco concede un límite hasta el que la empresa puede descontar efectos de forma continua. Cuando una letra vence y se cobra, ese importe vuelve a quedar disponible.

¿Qué límite necesita la empresa? El importe de los efectos que tendrá pendientes de vencimiento en cada momento:

\[ \text{Límite} = \frac{\text{Ventas anuales}}{365} \times \text{días de vencimiento medio} \]
Qué es cada símbolo
Límite
importe máximo de efectos que la empresa puede tener descontados a la vez (€)
Ventas anuales
ventas a crédito de un año, cobradas mediante efectos (€)
365
días del año: al dividir se obtienen las ventas de un día
Días de vencimiento medio
días que tardan en vencer (cobrarse) los efectos
💬 En palabras sencillas

Una línea de descuento funciona como el límite de una tarjeta: el banco te dice «puedes tener descontadas, como mucho, letras por 90.000 € a la vez». Cada vez que un cliente paga una letra, ese importe vuelve a quedar libre para descontar otra.

Ejemplo. Ventas de 730.000 € al año cobradas con letras a 45 días: ventas diarias \(730.000/365 = 2.000\) €; límite \(2.000 \times 45 = 90.000\) €. Cada día entran letras nuevas por 2.000 € y vencen otras tantas: en todo momento hay 45 días de ventas descontadas.

5. Elementos de coste

ElementoCómo se calcula
Tipo de descuento (d)Interés anual sobre el nominal por los días que se anticipa: \(N\cdot d\cdot \frac{t}{360}\). A menudo va por tramos según el vencimiento.
Comisión de gestión de cobro (c)\(c\cdot N\), con frecuencia con un mínimo en euros: se paga el mayor. Puede ser más alta si la letra no está domiciliada o no está aceptada.
Timbre (T)Impuesto según una escala por importes (ej.: de 3.005,07 a 6.010,12 € → 16,83 €; de 6.010,13 a 12.020,24 € → 33,66 €). Si la letra vence a más de seis meses, se toma el doble del nominal.
Otros gastosCorreo, gastos de estudio de la línea…
Qué es cada símbolo
\(N\)
nominal de la letra: importe que pagará el cliente al vencimiento (€)
\(d\)
tipo de descuento anual que aplica el banco, en tanto por uno (6 % = 0,06)
\(t\)
días que faltan desde hoy hasta el vencimiento de la letra (días que el banco anticipa el dinero)
360
año comercial: el banco calcula los intereses como si el año tuviera 360 días
\(c\)
comisión de gestión de cobro, en tanto por uno sobre el nominal (0,5 % = 0,005)
\(T\)
timbre de la letra (€): impuesto que depende del importe. ¡Ojo! En crédito comercial, T era el plazo de pago

Descuento forfait: el único coste es el tipo de descuento (más alto), sin comisiones aparte.

🔑 Las letras pequeñas y cortas salen caras, porque la comisión y el timbre son fijos.

6. El efectivo: lo que el banco ingresa hoy

HoyEefectivo que recibe el proveedor
t días
VencimientoNnominal que paga el cliente
\[ E = N\left(1 - d\cdot\frac{t}{360}\right) - c\cdot N - T \]
Qué es cada símbolo
\(E\)
efectivo: lo que el banco ingresa hoy al proveedor (€)
\(N\)
nominal de la letra: importe que pagará el cliente al vencimiento (€)
\(d\)
tipo de descuento anual que aplica el banco, en tanto por uno (6 % = 0,06)
\(t\)
días que faltan desde hoy hasta el vencimiento de la letra (días que el banco anticipa el dinero)
360
año comercial: el banco calcula los intereses como si el año tuviera 360 días
\(N\cdot d\cdot\frac{t}{360}\)
intereses que cobra el banco (€)
\(c\)
comisión de gestión de cobro, en tanto por uno sobre el nominal (0,5 % = 0,005)
\(c\cdot N\)
comisión de gestión de cobro (€); si hay mínimo, se paga el mayor
\(T\)
timbre de la letra (€): impuesto que depende del importe. ¡Ojo! En crédito comercial, T era el plazo de pago
💬 En palabras sencillas

El efectivo es lo que te ingresa el banco hoy: el importe de la letra menos todo lo que te cobra (intereses, comisión y timbre). Siempre es menos de lo que pagará tu cliente.

Ejemplo. Letra de 5.000 € a 90 días, d = 6 %, c = 0,5 %, timbre 16,83 €: intereses \(5.000\cdot0{,}06\cdot90/360 = 75\); comisión \(25\); \(E = 5.000 - 75 - 25 - 16{,}83 = \mathbf{4.883{,}17}\) €.

🔑 El efectivo es lo que me ingresa el banco hoy: el nominal menos todo lo que me cobra.

7. El coste efectivo

El proveedor recibe E hoy y «devuelve» N dentro de t días (el banco se queda con lo que paga el cliente). El coste efectivo anual k es el tipo que iguala ambas cantidades:

\[ E = \frac{N}{(1+k)^{t/365}} \quad\Longrightarrow\quad k = \left(\frac{N}{E}\right)^{\frac{365}{t}} - 1 \]
Qué es cada símbolo
\(k\)
coste efectivo anual del descuento, en tanto por uno (×100 para %)
\(N\)
nominal de la letra: importe que pagará el cliente al vencimiento (€)
\(E\)
efectivo: lo que el banco ingresa hoy al proveedor (€)
\(t\)
días que faltan desde hoy hasta el vencimiento de la letra (días que el banco anticipa el dinero)
365
días del año natural: se usan para pasar el coste del periodo a coste efectivo anual
\(\frac{N}{E}\)
lo que se «devuelve» (N, que cobra el banco) entre lo que se recibe hoy (E)

En el ejemplo: \(k = (5.000/4.883{,}17)^{365/90} - 1 = \mathbf{10{,}06\,\%}\), aunque el tipo pactado era del 6 %.

💬 En palabras sencillas

El banco te dice «te cobro un 6 %», pero en realidad te cuesta un 10,06 %. ¿Por qué? Porque además de los intereses te cobra la comisión y el timbre, y porque te cobra los intereses por adelantado. Por eso, para comparar bancos, mira siempre el coste efectivo, no el tipo que te anuncian.

¿Por qué k es mayor que d?
  1. Los intereses se cobran por adelantado y sobre N, aunque solo se recibe E.
  2. El banco usa un año de 360 días.
  3. La comisión y el timbre son casi fijos: en letras pequeñas o cortas disparan el coste.
🔑 Mira siempre el coste efectivo, no el tipo que te anuncian.
🔑 Para comparar, todo a coste efectivo anual.

8. La TAE (versión sencilla)

La TAE es el coste que el banco debe informar según el Banco de España. Se calcula igual que k, pero sin los gastos que no cobra el banco (timbre, correo) y sin la parte de la comisión que corresponde al mínimo:

\[ E_{TAE} = N\left(1-d\frac{t}{360}\right) - (\text{comisión} - \text{comisión mínima}) \qquad TAE = \left(\frac{N}{E_{TAE}}\right)^{\frac{365}{t}} - 1 \]
Qué es cada símbolo
\(TAE\)
tasa anual equivalente que el banco debe informar
\(E_{TAE}\)
efectivo a efectos de la TAE: sin timbre ni correo, y sin la parte de la comisión que corresponde al mínimo
\(N\)
nominal de la letra: importe que pagará el cliente al vencimiento (€)
\(d\)
tipo de descuento anual que aplica el banco, en tanto por uno (6 % = 0,06)
\(t\)
días que faltan desde hoy hasta el vencimiento de la letra (días que el banco anticipa el dinero)
comisión
la que se cobra: el mayor entre \(c\cdot N\) y la comisión mínima (€)
comisión mínima
importe mínimo de comisión por letra que fija el banco (€)

Por eso la TAE suele ser menor que el coste efectivo real k, que sí incluye todo lo que paga la empresa.

9. Resumen y errores típicos

  1. Intereses: \(N\cdot d\cdot t/360\)
  2. Comisión: \(\max(c\cdot N;\ \text{mínimo})\); timbre según la escala.
  3. Efectivo: \(E = N - \text{intereses} - \text{comisión} - \text{timbre}\)
  4. Coste efectivo: \(k = (N/E)^{365/t} - 1\)
  5. Límite de la línea: ventas diarias × días de vencimiento.
Qué es cada símbolo
\(N\)
nominal de la letra: importe que pagará el cliente al vencimiento (€)
\(d\)
tipo de descuento anual que aplica el banco, en tanto por uno (6 % = 0,06)
\(t\)
días que faltan desde hoy hasta el vencimiento de la letra (días que el banco anticipa el dinero)
\(c\)
comisión de gestión de cobro, en tanto por uno sobre el nominal (0,5 % = 0,005)
\(T\)
timbre de la letra (€): impuesto que depende del importe. ¡Ojo! En crédito comercial, T era el plazo de pago
\(E\)
efectivo: lo que el banco ingresa hoy al proveedor (€)
\(k\)
coste efectivo anual del descuento, en tanto por uno (×100 para %)
Límite
importe máximo de efectos que la empresa puede tener descontados a la vez (€)
Errores típicos
  • Olvidar el factor t/360 en los intereses.
  • Olvidar la comisión mínima o el timbre.
  • Dividir entre E y N al revés: es N/E.
  • Anualizar multiplicando en lugar de elevando a 365/t.
🔑 Frases clave de este tema
  1. El banco me da hoy menos de lo que cobrará al vencimiento.
  2. El efectivo es lo que me ingresa el banco hoy: el nominal menos todo lo que me cobra.
  3. Al cliente no le cambia nada: paga el nominal al vencimiento.
  4. Mira siempre el coste efectivo, no el tipo que te anuncian.
  5. Las letras pequeñas y cortas salen caras, porque la comisión y el timbre son fijos.
  6. Para comparar, todo a coste efectivo anual.
Ejemplos resueltos

Ejemplos resueltos paso a paso

Basados en Oikonomicon (apartado Descuento de efectos) y en el texto de Instrumentos de financiación empresarial.

Ejemplo 1

Letra de 1.200 € a 32 días

Un banco nos descuenta una letra de 1.200 € nominales al 9 % anual, con una comisión de gestión de cobro del uno por mil. La letra vence dentro de 32 días y no lleva timbre. Calcula el efectivo y el coste efectivo.

Datos del enunciado\(N = 1.200\) € (nominal) · \(d = 0{,}09\) (tipo de descuento) · \(t = 32\) días (hasta el vencimiento) · \(c = 0{,}001\) (comisión, uno por mil) · \(T = 0\) (sin timbre) · Incógnitas: \(E\) (efectivo) y \(k\) (coste efectivo anual)
  1. Intereses: \(1.200\cdot 0{,}09\cdot \dfrac{32}{360} = 9{,}60\) €.
  2. Comisión: \(1.200\cdot 0{,}001 = 1{,}20\) €.
  3. Efectivo: \(E = 1.200 - 9{,}60 - 1{,}20 = \mathbf{1.189{,}20}\) €.
  4. Coste efectivo: \(k = \left(\dfrac{1.200}{1.189{,}20}\right)^{365/32} - 1 = \mathbf{10{,}86\,\%}\).

Se pacta un 9 % y el proveedor paga en realidad un 10,86 %.

🔑 El efectivo es lo que me ingresa el banco hoy: el nominal menos todo lo que me cobra.
🔑 Mira siempre el coste efectivo, no el tipo que te anuncian.
Ejemplo 2

El efecto del plazo: letra de 630 €

Un banco descuenta una letra de 630 € al 4 % anual, con comisión de gestión de cobro del uno por mil. ¿Cómo cambia el coste efectivo según el vencimiento?

Datos del enunciado\(N = 630\) € (nominal) · \(d = 0{,}04\) (tipo de descuento) · \(c = 0{,}001\) (comisión) · \(t\) = 15, 30 o 90 días (vencimiento) · Incógnitas: \(E\) y \(k\) para cada plazo
  1. Efectivo en función de t: \(E = 630\cdot\left(1 - 0{,}04\cdot\dfrac{t}{360}\right) - 0{,}63\).
  2. Para cada plazo, \(k = (630/E)^{365/t} - 1\):
    t (días)Ek
    15628,32 €6,71 %
    30627,27 €5,43 %
    90623,07 €4,59 %

Cuanto más corto es el vencimiento, mayor es el coste efectivo anual: la comisión es la misma, pero se reparte en menos días.

🔑 Las letras pequeñas y cortas salen caras, porque la comisión y el timbre son fijos.
Ejemplo 3

Letra con comisión mínima y timbre

Descontamos una letra de 3.000 € a 90 días. Tipo de descuento del 5 %, comisión de gestión de cobro del 0,4 % con mínimo de 6 €, y timbre según la escala.

Datos del enunciado\(N = 3.000\) € (nominal) · \(t = 90\) días · \(d = 0{,}05\) (tipo de descuento) · \(c = 0{,}004\) (comisión), con mínimo de 6 € · \(T\) = timbre según la escala · Incógnitas: \(E\) y \(k\)
  1. Intereses: \(3.000\cdot0{,}05\cdot\dfrac{90}{360} = 37{,}50\) €.
  2. Comisión: \(0{,}004\cdot3.000 = 12\) €, mayor que el mínimo de 6 € → 12 €.
  3. Timbre: 3.000 € está en el tramo de 1.502,54 a 3.005,06 € → 8,41 €.
  4. Efectivo: \(E = 3.000 - 37{,}50 - 12 - 8{,}41 = \mathbf{2.942{,}09}\) €.
  5. Coste efectivo: \(k = (3.000/2.942{,}09)^{365/90} - 1 = \mathbf{8{,}23\,\%}\).
🔑 El efectivo es lo que me ingresa el banco hoy: el nominal menos todo lo que me cobra.
🔑 Las letras pequeñas y cortas salen caras, porque la comisión y el timbre son fijos.
Ejemplo 4

Límite de la línea de descuento

Una empresa vende 730.000 € al año y cobra todas sus ventas con letras a 45 días. ¿Qué límite de línea de descuento necesita?

Datos del enunciadoVentas anuales a crédito = 730.000 € · días de vencimiento = 45 · Incógnita: límite de la línea de descuento
  1. Ventas diarias: \(730.000/365 = 2.000\) €.
  2. Límite: \(2.000\times45 = \mathbf{90.000}\) €.

El límite crece con el volumen de ventas a crédito y con el plazo de cobro.

¿Has entendido los ejemplos? Ahora practica tú.

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Vista previa: hoja «Tabla de costes»

Coste efectivo anual de descontar una letra según los días hasta el vencimiento y el tipo de descuento. Cambia los datos de la letra y la tabla se recalcula.

€
%
€
€
Qué es cada símbolo
\(N\)
nominal de la letra (€)
\(t\)
días hasta el vencimiento (filas de la tabla)
\(d\)
tipo de descuento anual (columnas)
\(c\)
comisión de gestión de cobro sobre N; se paga el mayor entre c·N y la comisión mínima
\(T\)
timbre de la letra (€)
\(E\)
efectivo: \(N - N\cdot d\cdot t/360 - \text{comisión} - T\)
\(k\)
coste efectivo anual: \((N/E)^{365/t}-1\) (valor de cada celda)
📋 Lo que respondas aquí queda anotado en Mi registro (solo en tu navegador). Al terminar la clase puedes descargarlo en Excel y enviárselo a la profesora (sdiamar@upo.es). Es voluntario.

Más ejercicios con datos nuevos

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Calculadora de una letra

€
días
%
%
€
€
€

Resultado

¿A dónde va el nominal?
    Qué es cada símbolo
    \(N\)
    nominal de la letra: importe que pagará el cliente al vencimiento (€)
    \(t\)
    días que faltan desde hoy hasta el vencimiento de la letra (días que el banco anticipa el dinero)
    \(d\)
    tipo de descuento anual que aplica el banco, en tanto por uno (6 % = 0,06)
    \(c\)
    comisión de gestión de cobro, en tanto por uno sobre el nominal (0,5 % = 0,005)
    comisión mínima
    importe mínimo de comisión por letra que fija el banco (€)
    \(T\)
    timbre de la letra (€): impuesto que depende del importe. ¡Ojo! En crédito comercial, T era el plazo de pago
    \(E\)
    efectivo: lo que el banco ingresa hoy al proveedor (€)
    \(k\)
    coste efectivo anual del descuento, en tanto por uno (×100 para %)
    Coste efectivo de esta letra según su vencimiento
    Mismas condiciones, otro plazo. Los gastos fijos pesan mucho en las letras cortas.

    Límite de la línea de descuento

    €
    días
    Qué es cada símbolo
    Ventas anuales
    ventas a crédito de un año, cobradas mediante efectos (€)
    Días de vencimiento medio
    días que tardan en vencer (cobrarse) los efectos
    Límite
    importe máximo de efectos que la empresa puede tener descontados a la vez (€)

    Del tipo pactado al coste efectivo

    Datos iniciales: ejemplo 1 de la teoría
    €
    %
    %
    Días hasta el vencimiento t32
    Tema 2 · Financiación a corto plazo · EPD

    Listado de fórmulas

    Todas las fórmulas del crédito comercial y del descuento comercial en una página. Puedes imprimirla con Ctrl/Cmd + P.

    Crédito comercial · «d/t neto T»

    \[ i = \frac{d}{1-d} \qquad \text{(coste del periodo de } T-t \text{ días)} \]
    \[ k = (1+i)^{\frac{365}{T-t}} - 1 = \left(1+\frac{d}{1-d}\right)^{\frac{365}{T-t}} - 1 \]

    Si se paga otro día, los días son (día de pago − t). Dentro del pronto pago, k = 0.

    Inversa (descuento que corresponde a un coste k):

    \[ i = (1+k)^{\frac{T-t}{365}} - 1 \qquad d = \frac{i}{1+i} \]
    Qué es cada símbolo
    \(F\)
    importe de la factura (€)
    \(d\)
    descuento por pronto pago, en tanto por uno (2 % = 0,02)
    \(t\)
    plazo de pronto pago: días, desde la recepción de la factura, en los que se puede pagar con descuento
    \(T\)
    plazo de pago: días máximos para pagar la factura entera, sin descuento
    \(T-t\)
    días de financiación con coste: los que el cliente usa si no se acoge al descuento
    \(i\)
    coste del periodo de \(T-t\) días, en tanto por uno (×100 para %)
    \(k\)
    coste efectivo anual de no acogerse al descuento, en tanto por uno (×100 para %)
    365
    días del año natural: se usan para pasar el coste del periodo a coste efectivo anual
    día de pago
    si se paga después de t pero antes de T, los días de financiación son (día de pago − t)

    Decisión del cliente: sin tesorería, endeudarse para pagar con descuento solo si la otra financiación cuesta menos que k.

    Descuento comercial

    \[ E = N\left(1 - d\cdot\frac{t}{360}\right) - c\cdot N - T \]
    \[ k = \left(\frac{N}{E}\right)^{\frac{365}{t}} - 1 \]

    Comisión con mínimo: \(\max(c\cdot N;\ \text{mínimo})\).

    \[ E_{TAE} = N\left(1-d\frac{t}{360}\right) - (\text{comisión} - \text{mínimo}) \qquad TAE = \left(\frac{N}{E_{TAE}}\right)^{\frac{365}{t}} - 1 \]
    Qué es cada símbolo
    \(N\)
    nominal de la letra: importe que pagará el cliente al vencimiento (€)
    \(d\)
    tipo de descuento anual que aplica el banco, en tanto por uno (6 % = 0,06)
    \(t\)
    días que faltan desde hoy hasta el vencimiento de la letra (días que el banco anticipa el dinero)
    360
    año comercial: el banco calcula los intereses como si el año tuviera 360 días
    \(c\)
    comisión de gestión de cobro, en tanto por uno sobre el nominal (0,5 % = 0,005)
    comisión
    la que se cobra: el mayor entre \(c\cdot N\) y la comisión mínima (€)
    comisión mínima
    importe mínimo de comisión por letra que fija el banco (€)
    \(T\)
    timbre de la letra (€): impuesto que depende del importe. ¡Ojo! En crédito comercial, T era el plazo de pago
    \(E\)
    efectivo: lo que el banco ingresa hoy al proveedor (€)
    \(k\)
    coste efectivo anual del descuento, en tanto por uno (×100 para %)
    365
    días del año natural: se usan para pasar el coste del periodo a coste efectivo anual
    \(E_{TAE}\)
    efectivo a efectos de la TAE: sin timbre ni correo, y sin la parte de la comisión que corresponde al mínimo
    \(TAE\)
    tasa anual equivalente que el banco debe informar

    Línea de descuento (descuento comercial)

    Una línea de descuento es un contrato con el banco que permite a la empresa descontar letras de forma continua, sin pedir permiso letra a letra, hasta un límite. Cuando una letra se cobra, ese importe vuelve a quedar libre. La fórmula calcula qué límite necesita la empresa: lo que tendrá pendiente de cobrar en cada momento.

    Dónde se usa: Descuento comercial → Teoría, apartado 4 y ejemplo 4; Ejercicios 1 y 3; Laboratorio, «Límite de la línea de descuento».

    \[ \text{Límite} = \frac{\text{Ventas anuales}}{365}\times \text{días de vencimiento medio} \]
    Qué es cada símbolo
    Límite
    importe máximo de efectos que la empresa puede tener descontados a la vez (€)
    Ventas anuales
    ventas a crédito de un año, cobradas mediante efectos (€)
    Ventas anuales / 365
    ventas medias diarias (€ al día)
    Días de vencimiento medio
    días que tardan en vencer (cobrarse) los efectos

    Frases clave

    🔑 Crédito comercial
    1. Si no me acojo al descuento, no pago más: pago el precio de la factura, pero pierdo el descuento.
    2. El coste es el descuento que dejo de ahorrar: i lo mide en el periodo y k, en un año.
    3. O pago con descuento el día t, o pago el total el día T. Pagar en medio es lo peor.
    4. Primero el coste del periodo, después el coste efectivo anual.
    5. Si conseguir el dinero me cuesta menos que k, pago con descuento; si me cuesta más, pago el día T.
    🔑 Descuento comercial
    1. El banco me da hoy menos de lo que cobrará al vencimiento.
    2. El efectivo es lo que me ingresa el banco hoy: el nominal menos todo lo que me cobra.
    3. Al cliente no le cambia nada: paga el nominal al vencimiento.
    4. Mira siempre el coste efectivo, no el tipo que te anuncian.
    5. Las letras pequeñas y cortas salen caras, porque la comisión y el timbre son fijos.
    🔑 Para comparar, todo a coste efectivo anual.

    Recuerda

    • i (o N/E − 1) es un coste de un periodo: hay que anualizarlo antes de comparar.
    • Se anualiza con capitalización compuesta y 365 días; los intereses del descuento se calculan con 360.
    • El coste del crédito comercial no depende del importe de la factura.
    • En el descuento, los gastos fijos (comisión mínima, timbre) encarecen mucho las letras pequeñas o cortas.
    Voluntario · no cuenta para la nota

    Mi registro de la EPD

    Aquí aparece lo que has respondido en los ejercicios y en el test. Al terminar la clase, si quieres, escribe tu nombre, descarga el Excel y envíaselo a la profesora por correo, a sdiamar@upo.es: le sirve para ver la participación.

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